miércoles, 28 de octubre de 2015

Figuras equivalentes

Algunos teoremas para construir figuras equivalentes:
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-la-bisectriz.html

Figuras equivalentes son las que tienen la misma área siendo distintas.
Para resolver gran parte de los ejercicios es necesario comprender los siguientes teoremas:



En la figura hay 3 triángulos proporcionales (de igual forma pero distinto tamaño): el mayor ADG, el medio CFG y el menor: ABE
El triángulo mayor ADG es igual de forma (proporcional) al menor ABE pues como los 2 son rectángulos (tienen un ángulo de 90º) y el ángulo A es común a los dos, el otro ángulo (en rojo) es igual B=G. El medio CFG también es igual (proporcional) a ambos, pues tiene el G (en rojo) común y otro de 90º, por lo tanto C=A.



Teorema de Thales. Todos los ángulos inscritos periféricos comprendidos en el arco de una semicircunferencia son rectos.











Teorema de la altura: En un triángulo (en gris) un cateto C es a otro A como en el otro triángulo (en rojo dentro del cuadrado), B es a C.
C/A =B/C, de ello se desprende que C.C =A.B
Por tanto, el rectángulo verde es equivalente al cuadrado rojo.








Teorema del cateto: a.a = b. (b+c)
El cuadrado del cateto a es igual al rectángulo determinado por la proyección b del cateto a sobre la hipotenusa y la hipotenusa b+c.
El segmento a es a b, como b+c es a a, ya que los dos triángulos son proporcionales, según se vio en el primer ejercicio. Por tanto, el rectángulo rojo es equivalente al cuadrado verde.


Figuras equivalentes: las que tiene el mismo área, siendo distintas
Se trata de construir una figura que es un número de veces mayor que otra dada. Por ejemplo, en la figura de la izquierda tenemos un cuadrado amarillo a del que se pide construir otro b (en color naranja) que sea dos veces mayor.
Para dibujarlo hacemos otro cuadrado (en color azul) y lo colocamos encima del cuadrado amarillo dado, con lo que tenemos un rectángulo. Por el teorema del cateto podemos transformar éste rectángulo en un cuadrado equivalente (con la misma área).
En la figura de la derecha tenemos como dato un cuadrado amarillo c del que se pide construir uno que tenga un área tres veces mayor. Como hicimos en el dibujo anterior, hacemos un rectángulo con el número de cuadrados que van a ser equivalentes al cuadrado mayor, en este caso como el nuevo cuadrado que vamos a calcular es tres veces mayor, tendremos que tener un rectángulo formado por tres cuadrados. Por el teorema del cateto transformamos este rectángulo formado por los tres cuadrados pequeños en el cuadrado de color naranja que tiene un área tres veces mayor que el cuadrado amarillo dado c.




Se trata de construir un cuadrado  que es la mitad de otro. 
En la figura la izquierda observamos un cuadrado verde claro del que hay que construir otro   que tenga la mitad de área, tomamos el lado de la base AB y hacemos un arco con este radio hasta que corte a la diagonal AC, en el punto de corte E obtenemos un punto que unido al extremo del lado A es la nueva diagonal del cuadrado cuya área vale la mitad del original -cuadrado verde oscuro.
Fundamento: tenemos el cuadrado gris mayor,-a la derecha-, y construimos cuatro cuadrados que tengan la misma área, para ello hacemos por el centro dos rectas paralelas a sus lados obteniendo así la división en cuatro cuadrados iguales, estos cuadrados iguales en color amarillo y rojo los ponemos alineados tal como se ve en la figura.
 En la esquina D1 del cuadrado amarillo superior hacemos un arco marrón hasta que corte a la prolongación del lado en Z, a continuación hacemos una semi circunferencia naranja de centro N1 y y radio N1-Z. Al prolongar los lados de los cuatro cuadrados VO obtenemos en la intersección con la semicircunferencia J, el lado del cuadrado dado lo colocamos en la posición del cuadrado gris .
 Hacemos otro arco siena cuyo centro es D1 y radio D1-S, tomamos la semi circunferencia rosa cuyo diámetro es D1-N1, al prolongar los dos lados de la derecha de los cuadrados rojos obtenemos en la intersección con la nueva circunferencia el punto O1, que unido al punto D1, nos determina el lado del nuevo cuadrado azul claro que es la mitad del anterior, como podemos ver el arco de circunferencia verde de  radio D1-N1 intercepta a la diagonal del cuadrado azul claro según el método de construcción anterior.



Para hallar un triángulo equivalente a un rectángulo y romboide, hacemos por ejemplo una línea que incida en su vértice A y punto medio de la base B.
Por el punto medio de AB hacemos una paralela h a la base CD. Por D y C hacemos rectas paralelas m y n a AB. La intersección de h con m y n nos determina QR.
CDQR es el romboide equivalente al triángulo ACD.
En la figura de la derecha el triángulo azul (construido con una vertical por D) se puede desplazar hasta C, transformando el romboide original en un rectángulo (en verde).





El teorema de las cuerdasSegún la potencia del punto O respecto a una circunferencia se tiene que el producto a.b=c.d es siempre constante, independientemente de la posición de las secantes:
om.om'=of.of´=K. Por tanto om es a of como of' es a om´, esto es, son proporcionales, de lo que se deduce que siendo las secantes proporcionales entre sí, los rectángulos son siempre equivalentes.
Demostración: http://tangencias-potencia.blogspot.com/
Con el teorema de Ptolomeo podemos construir rectángulos equivalentes:
http://teoremas-de-geometria.blogspot.com/2012/03/teorema-de-ptolomeo.html




El teorema de Pitágoras gráficamente: La hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, esto es, el área del cuadrado mayor es igual (o equivalente) a la suma de los otros dos. De igual forma el área del cuadrado mayor menos el de otro cuadrado menor es igual al otro cuadrado, etc.








En el caso número uno, si al cuadrado ABCD le restamos cuatro triángulos (en el dibujo en color violeta) tenemos dos cuadrados que en el dibujo aparecen en color azul y rojo.
En el caso número dos, si el mismo cuadrado le restamos los mismos triángulos violetas pero según esta otra disposición, tenemos otro cuadrado que en el dibujo aparece en color amarillo.
En los dos casos como hemos restado únicamente cuatro triángulos violetas al mismo cuadrado hemos obtenido primero dos cuadrados azul y rojo y luego otro cuadrado amarillo, con lo que tenemos que los dos primeros cuadrados y el segundo son equivalentes.
En el caso número tres observamos gráficamente la representación del teorema de Pitágoras que dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado, o lo que es lo mismo, que el área del cuadrado azul más el área del cuadrado rojo es igual al área del cuadrado amarillo. En el dibujo verificamos que es cierto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos, dejando ver en el centro de los tres triángulos el triángulo rectángulo en color blanco.















Según el teorema del cateto el cuadrado violeta tiene la misma área que el rectángulo azul, y como éste tiene la misma que el triángulo amarillo pues los trozos que quedan en amarillo son como los que quedan en azul del rectángulo, tenemos que el cuadrado y el triángulo tienen la misma área.

El triángulo (amarillo más verde) es equivalente a un rectángulo (azul más verde) y a un cuadrado (en violeta). El cuadrado lo es al rectángulo por el teorema del cateto y éste al triángulo por 2 simetrías centrales de cada uno de los triángulos azul y amarillo: cada triángulo azul se transforma en otro amarillo tomando como centro de simetría un vértice del triángulo.





El teorema de Pitágoras por Dudeney




Si hacemos dos rectas perpendiculares que pasen por el centro del cuadrado amarillo y las cuatro partes en que lo dividen las disponemos como en el cuadrado azul, el cuadrado interno que queda en violeta es tal que sumada su área al área del amarillo es igual al área del azul más violeta..





Un rectángulo es equivalente al triángulo por ser los triángulos rojos iguales a los amarillos.


El triángulo ABCD es equivalente al trapecio MNÑO. El romboide de la izquierda está formado por triángulo y trapecio que se transforma con una diagonal en otra figura igual mediante una simetría central. El trapecio ÑPCD es igual a la base del trapecio que acota el triángulo mayor.




Trapecio equivalente a rectángulo y a triángulo. Una forma fácil de hacer figuras semejantes es dividir los lados de la original en partes iguales, de esta forma es más fácil que encajen los trozos para formar con ellos figuras nuevas.


En la figura observamos una forma de componer figuras equivalentes: triangular formas polígonales y construir con ellas nuevas formas.
En verde, rombo, romboide, trapecio y rectángulo son equivalentes por estar compuestas de los mismos triángulos rectángulos. El rectángulo rojo más verde ofrece otra posibilidad, la de construir áreas de otras proporciones, como doble en este caso.




Una forma de construir figuras equivalentes es hacer particiones de la siguiente forma: el rectángulo de la izquierda lo vamos a transformar en un trapecio, para ello lo dividimos en cuatro partes de las que son iguales dos y otras dos entre sí. Esta división nos genera un trapecio gris +1 triángulo rojo que lo giramos hasta situarlo sobre la base menor del trapecio. Para que el triángulo rojo tenga la misma pendiente que el trapecio ha de tener los 2 catetos iguales. Desplazamos a continuación el rectángulo amarillo sobre el azul ya que su partición era equitativa.



En la figura 1, el trapecio y pentágono son equivalentes pues los triángulos ADN y DBA, y AGE y AME tienen la misma base y altura por lo que sus áreas son iguales. En la figura 2, pentágono y triángulo son equivalentes por la misma razón.








En esta figura formada por segmentos rojos y verdes podemos observar una explicación más intuitiva del ejercicio anterior. A la izquierda tenemos que los segmentos rojos y verdes unidos forman 9 segmentos de mayor dimensión que los 10 de la figura de la derecha. Tomamos la figura de la izquierda y cogemos el triángulo inferior de segmentos verdes y hacemos un desplazamiento del triángulo, conseguimos por tanto la figura de la derecha en la que la suma de los segmentos rojos más los verdes tienen menor dimensión, pero como no puede bajar la longitud total de la suma de los segmentos ya que siguen existiendo todos, aparece uno más para compensar la pérdida en su longitud. 


Como el área de un círculo es el radio al cuadrado por 3,14 y el de la elipse es el semidiámetro mayor por el semidiámetro menor por 3,14, tenemos que si queremos hacer una elipse equivalente a un círculo, igualamos las áreas a.b.pi=r.r.pi, a.b=r.r y tenemos que el radio del círculo es igual al producto de los semidiámetros de la elipse dividido entre el radio. R=a.b/r, P.ej.: r=8.2/4, r=4
Por ejemplo, 4 × 4 = 16 y 8 x 2 = 16 el producto de dos semidiámetros 8 2 igual al producto de los radios 4 4. De la figura se desprende también que por ser común la zona blanca, el trozo azul tiene el mismo área que el trozo amarillo.






En la figura B tenemos un hexágono regular en el que los 2 triángulos superiores e inferiores se transforman en un rectángulo respectivamente -figura A. Tenemos en consecuencia un hexágono regular equivalente a un rectángulo. En la figura C directamente se cogen los triángulos del borde inferior y se trasladan a la parte superior, obteniendo así la misma figura.




el lado del cuadrado es media proporcional entre los lados del rectángulo: el lado menor del rectángulo es al lado del cuadrado como el lado del cuadrado es al lado mayor del rectángulo. Éste detalle que corresponde al teorema de la altura se puede observar en la figura ya que el lado menor del rectángulo está girado y pasa a ser el cateto menor del triángulo que tiene por cateto mayor el lado del cuadrado. Este cateto mayor se transforma en el menor del triángulo rectángulo cuyo cateto mayor es el lado mayor del rectángulo.




Para que el círculo tenga el mismo área que el cuadrado, igualamos las áreas. Despejando observamos que el lado del cuadrado es media proporcional entre el radio y entre el radio multiplicado por pi. En consecuencia cogemos como diámetro de la circunferencia gris dos dimensiones, la que corresponde al radio, y la que corresponde al radio por 3,14. En la separación de estas dos magnitudes levantamos una vertical hasta que corte a la semicircunferencia. Ese segmento vertical es el lado del cuadrado que es equivalente al círculo.




Gráficamente tenemos aquí el teorema de Pitágoras. De la misma forma los círculos inscritos en los cuadrados cumplen la misma condición que los cuadrados en el teorema: el área sumada de los dos círculos menores B C es igual al área del círculo mayor A.


Teorema de Pappus.
Dado un triángulo amarillo a, se trata de construir sobre dos de sus lados, dos paralelogramos bc y obtener otro m cuya área sea la suma de los dos anteriores. Dibujamos los paralelogramos, y prolongamos sus lados superiores rs hasta que se corten en un punto T, por éste trazamos una recta que pase además por V, vértice superior del triángulo a.
Por la base del triángulo trazamos en sus extremos JK rectas paralelas a la anterior VT, donde éstas cortan a los lados sr del paralelogramo, obtenemos YL por donde pasa el lado superior m del paralelogramo que queríamos obtener. Unimos sus extremos YL con JK y ya tenemos la figura m.
La figura m es equivalente a la suma de los paralelogramos bc.




Demostración: en el dibujo uno trazamos los paralelogramos y prolongamos sus lados superiores, de esta manera obtenemos en el dibujo número dos otros dos paralelogramos que son equivalentes a los anteriores por tener la misma área: el amarillo es equivalente al de color rosa y el verde es equivalente al de color azul. Por último en el apartado tres obtenemos otros dos paralelogramos en color violeta y marrón que son respectivamente equivalentes a los dos últimos, ya que tienen la misma base y la misma altura. En consecuencia, si sumamos las áreas de los paralelogramos amarillo y verde son exactas a los paralelogramos violeta y marrón, que es lo que se quería demostrar.





Vamos a construir un cuadrado amarillo Y cuya área sea el doble que el área de otro verde X.
Dado el cuadrado de color verde X construimos el cuadrado BFGH transformando el anterior mediante un giro de vértice B.
Si unimos otro cuadrado igual FGQU al cuadrado BFGH tenemos un rectángulo cuya área es el doble del cuadrado y mediante el teorema del cateto un rectángulo equivalente al cuadrado amarillo Y. Este rectángulo tiene el doble de área que el cuadrado anterior por lo tanto el cuadrado amarillo Y equivalente al rectángulo tiene el doble de área que el original X, y esto es lo que se quería encontrar.
El cuadrado verde es equivalente al rectángulo morado según el teorema del cateto, pero éste es equivalente al cuadrado BFGH por ser igual al cuadrado X. El doble del área BFGH es un rectángulo equivalente BHQU a un cuadrado Y que tiene también el doble del área al cuadrado original X. En consecuencia el rectángulo azul BHQU tiene también el doble de área que el rectángulo morado BWPT.
Observamos que al trasladar mediante un giro de centro B los dos segmentos BP y BQ obtenemos las dos diagonales de los dos cuadrados X Y. Pero la diagonal del cuadrado menor BÑ es igual al lado del cuadrado mayor BJ, por tanto para hacer el ejercicio según el dibujo de la derecha, si nos dan el cuadrado amarillo BMNO basta con hacer la diagonal d y con centro en el vértice B hacemos un arco a que corta a ésta en el punto D, obteniendo así el vértice del cuadrado verde ABCD homotético al anterior.




¿Qué porción de área le falta al cuadrado rojo para ser un cuadrado completo? La solución se ve en la figura, como le falta un trozo en ángulo recto, podemos imaginarnos un cuadrado amarillo de igual tamaño sobre el que proyectamos el centro del cuadrado rojo sobre la base para obtener el triángulo amarillo. Como éste es igual al triángulo rojo por tener los lados iguales y el triángulo rojo más el trapecio amarillo forman un cuadrado que es ¼ del cuadrado rojo si estuviera completo, tenemos que al cuadrado rojo le falta ¼ para estar completo.

¿Que porción de área posee el cuadrado interno respecto al externo? La solución se puede obtener mediante un giro como podemos observar en la figura siguiente.

Sí giramos 45º el cuadrado interior observamos que por estar en la circunferencia inscrita en el mayor, sus vértices caen en la mitad de los lados, de ahí que sea un rombo que podemos dividir en 4 partes, iguales a las que quedan para llenar el cuadrado mayor. Por tanto el cuadrado menor tiene la mitad de área que el mayor.

¿Qué área posee la forma superior? La solución en la figura de abajo: su área es la del cuadrado amarillo ya que está formado por dos semicircunferencias más el área del cuadrado menos una circunferencia.

¿Qué relación de proporción hay entre el cuadrado verde y el amarillo? La solución está en el siguiente dibujo.




Las teselas que forman los cuadrados amarillos pueden componer cuatro iguales al verde, por lo que el cuadrado verde es un quinto del cuadrado mayor amarillo.














Dada la ecuación de la parábola  y = x 2  acotada por la recta y=4 , se pide calcular una circunferencia que tenga la mismo área y cuyo centro tenga de coordenadas (6,4).

Para calcular el área hacemos la integral entre los límites 2, -2, -blog de cálculo integral- , que son los puntos de intersección de la recta con la parábola.  Para calcularlos resolvemos el sistema de ambas ecuaciones, la de la curva y la de la recta, (mirar cálculo de puntos de intersección).
El área de la parábola acotada quedará determinada por la integral definida entre 2 y -2 de (2 - 4).  (Segundo miembro de la ecuación de la curva parabólica menos el segundo miembro de la ecuación de la recta vertical que pasa por la ordenada cuatro).
Para calcular la integral simplemente sumamos una unidad al exponente de la variable x y dividimos la expresión por un número igual al exponente calculado. por ejemplo, al aplicar la integral de 2
tenemos que pasa a ser 2+1 / (2 + 1)

A continuación le restamos la integral de la constante cuatro:

 4x 0+1 / (0 + 1), obteniendo 4x, para ello sumamos también 1 unidad al exponente x y dividimos la expresión por un número igual al exponente calculado.


Aplicamos a continuación la integral definida entre  2 y -2 de la diferencia de ambos términos:

/3  - 4x

Para ello tomamos la expresión anterior y sustituimos en x el valor 2 y a continuación le restamos la misma expresión sustituyendo en x el valor -2, obteniendo de esta forma el área de la parábola cuyo valor es 10,6 unidades cuadradas.
Para hacer un círculo con el área equivalente,tenemos que su área debe ser igual a la de la parábola, 10,6, por tanto igualamos este número a pi por el radio al cuadrado, de esta manera obtenemos al despejar el radio su valor, que es 1,8.
La ecuación de la circunferencia será x menos la coordenada en x que es seis, todo ello al cuadrado más la variable y menos la coordenada en y que es cuatro, todo ello al cuadrado, ambos términos sumados deben ser igual al radio al cuadrado 1,8 2, esto es, a 3,35. (Expresión verde del borde superior derecho del dibujo).


Figuras equivalentes : Cuadrado equivalente [I]

equivalenciaLas figuras geométricas pueden compararse entre sí tomando como referencia para esta comparación tanto su forma como su tamaño.
Estas clasificaciones tienen utilidad al facilitar su comprensión y manipulación, ya que permiten agrupar las transformaciones que se efectúan sobre ellas en función de criterios estructurados.
En base a las diferentes combinaciones que podemos encontrar en estas comparaciones las clasificaremos en:
  • Formas semejantes: Tienen igual forma pero diferente tamaño
  • Formas equivalentes: Tienen diferente forma pero igual tamaño (Área o Volumen)
  • Formas congruentes: Tienen igual forma y tamaño (son iguales)
En geometría plana dos figuras equivalentes son las que tienen igual área, por lo que para obtener una figura equivalente a otra dada deberemos igualar las expresiones de sus respectivas áreas.
Area figura 1 = Area figura 2
Esta expresión servirá de base para el estudio de esta relación. Ya que relaciona formas cuadráticas nos serán de utilidad los teoremas de la altura y el cateto, así como las construcciones derivadas del concepto de potencia; Estos modelos nos resolverán la obtención de medias proporcionales.
Dividiremos el estudio de la equivalencia entre formas geométricas en tres estadios diferenciados:
  • Introducción al concepto
  • Obtención del cuadrado equivalente a una forma dada
  • Obtención de una forma equivalente a otra dada.
En general, para obtener una forma equivalente a otra dada, utilizaremos un cuadrado equivalente como forma intermedia entre dos figuras equivalentes. Por ello, analizaremos primero la forma de obtener un cuadrado equivalente a una figura geométrica.

Introducción al concepto de equivalencia entre figuras

En la figura siguiente vemos un conjunto de triángulos equivalentes. Todos ellos comparten la base (b), y tienen la misma altura (h) ya que dos de sus vértices son comunes (B y C) y el tercero se encuentra en todos ellos sobre una recta paralela a la base, a distancia h, por lo que su área es en todos los casos b*h/2 (base por altura entre dos).
Triángulos equivalentes
Triángulos equivalentes

Cuadrado equivalente a un triángulo

Para determinar el área equivalente de la de un triángulo realizaremos una construcción que nos permita obtener una media proporcional, relacionando este área con la equivalente de un cuadrado. De esta forma obtendremos el lado “l” de un cuadrado que tenga el mismo área que el triángulo dado.
cuadrado_equivalente_triangulo_AREA
Podremos utilizar cualquiera de las construcciones que utilizan formas cuadráticas, como las derivadas del concepto de potencia o los teoremas de la altura y el cateto que se obtienen a partir de la geometría del triángulo rectángulo.
construccion_cuadrado_equivalente_triangulo
Si utilizamos el teorema del cateto, la construcción será similar
cuadrado_equivalente_triangulo_teorema_cateto
Se incluye por último la construcción por potencia
cuadrado_equivalente_triangulo_potencia

Cuadrado equivalente a un polígono

Para determinar el cuadrado equivalente a un polígono lo reduciremos a un triángulo, eliminando vértices que serán sustituidos por otros que mantengan el área pero reduzcan el número de lados.
Por ejemplo, reduciremos el siguiente cuadrilátero a un triángulo
poligono_1
Para ello usaremos una diagonal que deje a un lado un único vértice. (en un cuadrilátero vale cualquiera, en un polígono en general no). Por el vértice que ha quedado aislado del resto (P4) trazaremos una paralela a la diagonal (P1-P3)
poligono_2
La idea es sustituir el triángulo P1-P3-P4 por otro de igual área pero que tenga su vértice en la prolongación de uno de los lados del polígono. Usaremos el punto P5 para sustituir al P4 de forma que el nuevo triángulo comparte la base con el anterior (P1-P3) y tiene la misma altura ya que el vértice se encuentra en la paralela a la base que pasa por P4.
poligono_3
El nuevo polígono cuenta con un lado menos. Una vez reducido el número de lados a tres, resolveremos como hemos visto en el caso anterior.
poligono_4

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Veamos a continuación cómo determinar el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo de base “b” y altura “a”
rectangulo
El área del rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura, y ésta debe ser igual al cuadrado del lado “l” del cuadrado equivalente.
area_rectangulo
En este caso vamos a utilizar el teorema de la altura, aunque podríamos igualmente usar el del cateto o el modelo basado en el concepto de potencia, como en los casos anteriores.
Teorema_altura_cuadrado_equivalente_rectangulo la(s) 13.16.44
Para completar la construcción obtendremos mediante un giro la base del cuadrado buscado a partir del lado que usaremos como altura.
cuadrado_equivalente_rectangulo

Cuadrado equivalente a un círculo

La relación de equivalencia no se podrá establecer de forma exacta en todos los casos, como es el de “la cuadratura del círculo“, pero lo podremos abordar con suficiente aproximación.
Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. Sólo se puede calcular por el método de repeticiones sucesivas.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.(W)

Método 1

Una aproximación al número Pi es la suma de la raíz de dos y la raíz de tres, 3.14626436994 que nos da un error de 0.0046
piR
Podemos calcular gráficamente estos segmento a partir de triángulos rectángulos sobre la circunferencia.
cuadratura_circulo_1
Giraremos estos segmentos para situarlos sobre una recta que servirá para la construcción de media proporcional.
cuadratura_circulo_2
Si aplicamos el teorema de la altura entre R y raíz de dos mas raíz de tres por R obtendremos el lado del cuadrado equivalente buscado, con la precisión que hemos comentado anteriormente.
cuadrado_equivalente_circulo_3

Método 2

Aunque existen muchos métodos, con diferentes aproximaciones, comentaremos sólo uno más para cerrar esta sección, dejando al lector la interesante tarea de descubrir otros con mayor o menor aproximación.
En este caso aproximaremos el número Pi como 22/7 = 3.14285714286 lo que nos da un error de 0.0012.
Tomaremos un segmento de longitud R y otro de longitud R*22/7 para obtener el lado del cuadrado como media proporcional entre ambos. Una posible construcción es la que sigue, en la que se aprecia cómo se divide el radio en 7 partes y cómo se giran los segmentos para construir la media mediante el teorema de la altura. Se deja al lector el análisis detallado de la construcción.
rectificacion_circunferencia22_7